Sayfa 36

kendinize bir sorun bakalım, “R sıradan bir küme mi, yoksa kendisini yutan türden mi?” Cevabın, “R ne sıradandır, ne de kendisini yutar; çünkü her iki cevap da paradoksa gider” olduğunu göreceksiniz. Deneyin! Fakat, eğer R ne sıradan, ne de kendisini yutan türden değilse, nedir? En azından patolojik bir şey. Ama bu tür kaçamak cevaplar kimseyi tatmin etmez, tabii. Bu yüzden, insanlar kümeler kuramının temellerini daha bir ciddiyetle incelemeye başladılar. Bu incelemede hayati önem taşıyan sorularsa, “Sezgisel “küme” kavramımızda nasıl bir terslik var? Sezgilerimize gereğince tekabül eden ve paradokslara düşmeyen sağlam bir küme teorisi üretebilir miyiz?” idi. Sayı teorisinde ve geometride olduğu gibi, burada da sorun sezgiyi formelleştirilmiş ya da aksiyomlaştırılmış akıl yürütme sistemleriyle bağdaştırma çabasında yatmaktadır.

Russell'ın paradoksunun şaşırtıcı bir türü de, küme yerine sıfatlar kullanarak yapılan “Grelling paradoksu”dur. Dildeki sıfatları “dörtheceli”, “beceriksiz” ve “malumatfuruş” gibi kendini-tanımlayan ve “besleyici”, “eksik”, “çiftheceli” gibi kendini-tanımlamayanlar olmak üzere iki kategoriye ayıralım. Şimdi, “kendini-tanımlamayan”'ın da bir sıfat olduğunu kabul ederek, bu sıfat hangi sınıfa aittir? Öyle görünüyor ki, bu paradokslarda ortak bir suçlu var, o da kendine-atıf, ya da “kendi üzerine dönme”. Yani, bilgisayar programlarından “recursion” diye tanıdığımız özellik. Öyleyse, madem amaç paradoksları tamamen ortadan kaldırmak, neden kendine-atıfı ve buna olanak veren her şeyi menetmiyoruz? Bu öyle göründüğü kadar kolay değil, çünkü kendine-atıfın nerede geçtiğini tam olarak saptamak çok zor olabilir. Mesela, Giritli bir filozofun “bütün Giritli filozoflar yalancıdır” demesini hatırlatan şu iki cümleyi ele alalım: Aşağıdaki cümle yanlıştır. Yukarıdaki cümle doğrudur. Bir arada alındığında, bu cümleler bir paradoks etkisi yaratıyorlar; oysa, ayrı ayrı bakarsak, ikisi de zararsız, hatta potansiyel olarak yararlı cümleler. Bu durumda “suç”'u cümlelerden birine yükleyemeyiz. Suç birbirlerine “işaret” etme biçimlerinde yatıyor. Aynı şekilde, İniş Çıkış'ın her bir bölgesi de pekâlâ doğrudur; imkânsızlığı, bu bölgelerin bütünsel olarak bir araya getiriliş biçimi yaratır. Kendine-atıf yalnız doğrudan değil, dolaylı da olabildiğine göre, her iki türünü birden ortadan kaldırmanın yolunu bulmak gerekiyor - tabii, eğer kendine-atıfın bütün kötülüklerin anası olduğu düşünülüyorsa.

RECURSION'IN YASAKLANMASI

Russell ile Whitehead böyle düşünüyorlardı; nitekim dev Principia Mathematica da kendi kendine atıf yapmayı mantık, küme ve sayı teorisinden kovmaya yönelik bir eserdi. Sistemlerinin ana fikri şuydu: Bütün kümeler bir “tipler hiyerarşisi” oluşturacak şekilde düzenlenmiştir. En düşük “tip”'ten bir küme yalnız “nesneler”'i içerebilir, kümeleri içeremez. Bunun bir üzerindeki küme yalnızca nesneleri ve en düşük tipten kümeleri içerebilir. Yani, genelde, her küme yalnızca daha düşük tipten kümelerle nesneleri içerebilirdi. Her küme belirli bir düzeydeki bir tipe ait olduğu için, hiçbir küme kendisini içeremez, çünkü bunu yapabilmesi için kendi tipinden daha yüksek bir tipe ait olması gerekir. Böyle bir sistemde yalnızca “sıradan” kümeler bulunur; dahası, bizim eski R -tüm sıradan kümelerin kümesi- sonlu tiplerden hiçbirine ait olmadığından, artık küme olarak kabul edilmemektedir bile. Öyleyse, nereden bakarsanız bakın, “Recursion'ın ilgası kuramı” diye de adlandırabileceğimiz bu tipler teorisi, küme teorisini paradokslardan kurtarmakta başarılı olmuştur; fakat, ancak yapay-görünümlü bir hiyerarşi getirmek ve -tüm sıradan kümelerin kümesi gibi- belirli türden kümelerin oluşmasına imkân tanımamak pahasına... Tipler teorisi Russell'ın paradoksuyla başa çıkmıştı, ama yalancı Giritli filozof paradoksuna ya da yukarıdaki örnekle, birbirine gönderme yapan iki cümleye karşı elinden bir şey gelmiyordu. Küme teorisinden ötesiyle uğraşmayanlar için bu kadarı da yeterliydi; ama, genelde paradoksların elimine edilmesiyle ilgilenenler için, dilde sarmallanmayı yasaklayacak yeni bir “hiyerarşikleştirme” gerekli görünüyordu. Böyle bir hiyerarşinin en altında, yalnızca belirli bir alana atıfta bulunabileceğiniz bir nesne dili yer alacaktı. Nesne dilinin kendi özelliklerine (örneğin gramer kurallarına, ya da bu dilde ifade edilen belirli bir cümleye) atıfta bulunmak içinse, bir üst-dil'e başvurulacaktı. Yabancı dil öğrenen herkes dilde böyle iki ayrı düzeyin varlığını hissetmiştir. Sonra, üst-dilden sözetmek için bir üst-üst-dil olacaktı, vb. Her cümlenin hiyerarşide belirli bir düzeye ait olması şarttı. Dolayısıyla da, herhangi bir ifade eldeki düzeylerden hiçbirine uymuyorsa, anlamsız addedilecek ve unutulacaktı. Ama şimdi bizim şu birbirlerine işaret eden iki cümlemizi tahlil etmeye çalışalım. İlk cümle ikincisinden söz ettiğine göre, daha yüksek bir düzeyde bulunması gerekiyor. Ama, aynı şekilde, ikinci cümlenin de ilkinkinden daha yüksek bir düzeyde bulunması lazım. Bu imkânsız olduğuna