Sayfa 35

D. HOFSTADTER Çeviren: Deniz Erksan

İşte matematiksel mantığın 1931 öncesi tarihini kısaca özetlemekle başlayalım. Tüm bu tarih, akıl yürütme süreçlerini mekanikleştirme girişimleriyle başlamıştı. Şimdi, akıl yürütme yeteneğimizin bizi diğer canlılardan ayıran şey olduğu sık sık söylenir; bu yüzden, en insani özelliğimizin mekanikleştirilmesi ilk bakışta biraz paradoksal görünüyor. Oysa eski Yunanlıların bile bildiği gibi, akıl yürütme belirli bir kalıba göre işleyen bir süreçtir ve -hiç olmazsa kısmen- ifade edilebilir kanunlara bağlıdır. Aristoteles tasımları (syllogism), Euclid de geometriyi bir kanunlar sistemi halinde toplamıştı; fakat, aksiyomatik akıl yürütme çalışmalarında bunları başka gelişmelerin izlemesi için yüzyıllar geçmesi gerekti. Ondokuzuncu yüzyıl matematiğinin en önemli keşiflerinden biri, aynı derecede geçerli birden fazla geometrinin varlığı oldu. (Burada, “bir geometri” soyut nokta ve çizgilerin özellikleri hakkında bir teori anlamına gelmektedir.) O ana kadar, çok uzun zamandan beri geometrinin,

Euclid'in sistematikleştirdiği şey olduğu varsayılmış ve Euclid'in sunuş biçiminde küçük kusurlar bulunsa bile bunların önem taşımadığına, geometride gerçek bir ilerlemenin ancak Euclid'i geliştirmekten geçebileceğine inanılmıştı. Hemen hemen aynı anda birkaç kişinin birden Euclid dışı geometrileri keşfetmesi bu inancı paramparça ettiği gibi, matematiğin gerçek dünyayı incelediği fikrine ciddi biçimde gölge düşürdü. Bu, matematikçiler üzerinde de şok etkisi yarattı. Tek bir gerçeklikte nasıl pek çok değişik türde nokta ve çizgi bulunabilirdi? Bugün bu ikilemin çözümü -matematikçi olmayan bazı kişilere bile- aşikâr gelebilir; fakat o sıralarda, matematik çevreleri tam bir yıkıma uğramıştı. Ondokuzuncu yüzyılın daha ileriki yıllarında, İngiliz mantıkçıları George Boole ve Augustus De Morgan salt tümdengelimsel akıl yürütme kalıplarını sisteme bağlamakta Aristoteles'i bir hayli geride bıraktılar. Hatta Boole kitabına “Düşünce Yasaları” adını verdi. Biraz abartmıştı kuşkusuz, ama kitap gerçekten önemli bir katkıydı. Bu mekanikleştirilmiş akıl yürütme yöntemlerine hayran kalan Lewis Carroll, bu yöntemlerle çözülmek üzere pek çok bilmece üretti. Jena'da Gottlob Frege, Torino'da

düşüncesinde

da da Giuseppe Peano formel akıl yürütmeyi küme ve sayı çalışmalarıyla bağdaştırmaya uğraşıyorlardı. Göttingen'de David Hilbert ise geometriyi Euclid'e kıyasla daha sıkı ve kesin bir şekilde formelleştirmeye çalışmaktaydı. Tüm bu çabalar aslında, herhangi bir şeyi kanıtlamanın ne anlama geldiğini berraklaştırmaya yönelikti. Bu arada, klasik matematikte de ilginç gelişmeler cereyan etmekteydi. Georg Cantor 1880'lerde farklı sonsuzluk tipleri üzerine kümeler (set) teorisi diye adlandırılan bir kuram geliştirdi. Kuram güçlüydü, güzeldi, fakat sezgilere ters düşüyordu. Çok geçmeden kümeler kuramına bağlı bir sürü paradoks çıkmıştı ortaya. Bunların en tanınmışı Russell'ın paradoksudur. Bildiğiniz gibi, kümelerin çoğu kendi kendini içermez; yani, köstebekler kümesi (isterseniz “sıradan” diye de düşünebilirsiniz) bir köstebek değildir; yalnız Jeanne D'Arc'ı içeren küme de Jeanne D'Arc değildir (bir küme bir insan olamaz). Bu açıdan, çoğu küme bir hayli “sıradan”dır. Fakat, kendi kendisinin üyesi olan bir takım kümeler de vardır; örneğin bütün kümeleri içeren küme, yani kümelerin kümesi veya Jeanne D'Arc hariç her şeyi içeren küme gibi... Doğal olarak, herhangi bir küme ya sıradan olabilir, ya da kendisini yutan türden; hiçbir küme her ikisi birden olamaz. Şimdi oturup R diye bir küme icat edelim: bütün sıradan kümelerin kümesi. İlk bakışta, R basbayağı sıradan bir icat gibi görünebilir. Ama