Sayfa 38

TUTARLILIK VE EKSİKSİZLİK

İşte, Principia Mathematica'nın hedefi de buydu. Matematiğin tamamını, hem de çelişkisiz olarak, mantıktan türetme iddiasındaki Principia Mathematica herkesin hayranlığını kazanmıştı kazanmasına, ama kimse ne (1) Russell'la Whitehead'in belirlediği yöntemlerin gerçekten de matematiğin tamamını kapsadığından, ne de hatta (2) bu yöntemlerin kendi içlerinde tutarlı olduğundan emin olamıyordu. Russell ve Whitehead'in yöntemleriyle, hiçbir matematikçinin asla çelişkili sonuçlara varamayacağı her türlü kuşkunun ötesinde kesin miydi? Bu soruyu özellikle rahatsız edici bulan seçkin Alman matematikçisi (ve üst-matematikçisi) David Hilbert, dünya matematik (ve üst-matematik) çevrelerini, Principia Mathematica'da tanımlanan sistemin hem tutarlı (çelişkisiz), hem de eksiksiz olduğunu (yani, sayı teorisindeki her bir doğru ifadenin P.M.'de çizilmiş olan çerçeveden türetilebileceğini) kesin olarak -hatta belki de Russell'la Whitehead'in belirlediği yöntemleri kullanarak- kanıtlamaya çağırdı. Öyle kolay üstesinden gelinecek bir iş değildi bu; üstelik, bir anlamda döngüsel de sayılabilirdi: akıl yürütme yöntemlerimizi, tam da bu yöntemlere dayanarak nasıl doğrulayabiliriz? İnsanın kendi sırtına tırmanması gibi bir şey bu.

Elbette Hilbert de bu ikilemin tamamen farkındaydı. Bu yüzden, tutarlılığın ya da eksiksizliğin yalnızca “sonlu” akıl yürütme usullerine (yani, matematikçilerin çoğunun benimsediği küçük bir akıl yürütme yöntemleri dizisine) dayanarak kanıtlanabileceğini umduğunu belirtmişti. Bu şekilde, matematikçilerin kısmen de olsa kendi sırtlarına tırmanabileceklerini, yalnızca yöntemlerin küçük bir bölümüne başvurarak matematiksel yöntemlerin tamamının sağlıklı olduğunun ispatlanabileceğini umut ediyordu. Bu bize pek dar kapsamlı bir hedef gibi görünebilir; ama, yüzyılımızın ilk otuz yılı boyunca, dünyanın en büyük üst-matematikçilerin birçoğu bu konuyla uğraşıp durdular. Otuzbirinci yıldaysa Gödel'in makalesi yayınlandı ve Hilbert'in programı bir anlamda tamamen yerle bir oldu. Bu makale yalnızca Russell'la

Whitehead'in önerdiği aksiyomatik sistemde onarılması imkansız “delikler” bulunduğunu açığa çıkarmakla kalmıyor, daha genel olarak, sayı teorisiyle ilgili bütün gerçeklerin de ancak ve ancak tutarsız bir aksiyomatik sistemden türetilebileceğini ortaya koyuyordu. Dahası, makale P.M.'de anlatılan türden bir sistemin tutarlılığını kanıtlamaya çalışmanın boşuna olduğunu da göstermekteydi: eğer böyle bir kanıt yalnızca P.M.'in içerdiği yöntemler aracılığıyla bulunabilecekse, o zaman -ki bu Gödel'in çalışmasının en garip sonuçlarından biridir- P.M.'in kendisinin tutarsız olduğu anlaşılacaktı! Bütün bunlar yetmezmiş gibi, Gödel Eksiklik Teoremini ispatlarken de recursion'dan kaynaklanan paradoksların her türlü saldırısına karşı kale kadar sağlam olduğu sanılan bir yere, Principia Mathematica'nın tam ortasına, Giritli yalancı filozof paradoksunu getirip bırakmıştı! Kısacası, Gödel'in eseri Principia Mathematica'yı yıkmadıysa da, Russell ve Whitehead'in başlangıçtaki hedeflerinin hayal ürünü olduğunu ortaya koyarak, üst-matematikçilerin gözünde eserin çekiciliğini son derece azalttı.