TOPOLOJİ

Topoloji tam bir tanımıyla soyut kümeler ailesi üzerinde verilmiş bir kuralı tanımlar, bu kural soyut kümelerin açıklık ya da kapalılık özelliklerini içerir ve bu kuralların bulunduğu uzaylara bir topoloji ya da bir topolojik uzay adı verilir. Topolojinin 3B geometri ile doğrudan bir bağlantısı bulunmamakla birlikte diferansiyel geometri ve cebirsel geometri gibi matematik disiplinleri üzerinden bu bağlantı sağlanır. Topoloji'nin etimolojik kökeni Latince uzay anlamına gelen topos (bu arada Lat. topos kelimesinin bizim dilimizde birebir anladığımız uzay kelimesini tam anlamıyla karşılamadığını düşünmekteyim) ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden oluşur. Yine de bu uzayın bizim günlük kullanımda anladığımız uzayı kastetmediğini belirtmem lazım, örneğin matematiksel anlamda sayı doğrusu adı verdiğimiz reel eksen yani üzerinde reel sayıların olduğu doğru bir uzaydır ve bu uzaya reel uzay adı verilir. Ben bu reel uzayda bir kural tanımlayabilirim (örneğin (a,b) gibi aralıklar açık kümeler olsun gibi.) ve bu kuralıma uyan tüm kümelerin oluşturduğu kümeye, gerekli topolojik aksiyomları da sağladığı zaman topoloji adını veririm. Bu aynı zamanda bir boyutlu reel uzay adını alır, istersem bu şekilde iki doğruyu dik olarak kesiştirip kartezyen koordinat sistemi adını vereceğim bir sistem tanımlarım (isteğe bağlı olarak eğik olarak da kesiştirip kartezyen olmayan bir sistem tanımlayabilirdim ama burada pratik olması açısından bunu görmezden gelelim) ve bu uzay R x R sıralı ikililerinden oluşan bir kümedir, bunu kısaca R² ile de gösterebilirim. Şimdi bu küme üzerinde bir kural tanımlayabilirim (örneğin (a,b]x(a,b] lerden oluşan kutucuklar açık kümeler olsun) ve bu kurala göre yine yukarıda belirtildiği gibi topolojimi oluşturabilirim. (Kartezyen) çarpım uzaylarında tanımlanan bu topolojiler kartezyen anlamda kutucuklardan oluştuğu zaman bunlara kutu topolojisi adı verilir. Ancak benim topolojilerimin ille bu şekilde olması gerekmez (örneğin kural {1}x(a,b) şeklindeki çizgiler açık kümeler olsun), kutu topolojisi olmadığı halde kartezyen çarpımlı uzaylarda tanımlanmış topolojilere çarpım topolojisi adı verilir (çarpım topolojileri yine derin bir konudur bu konuda varlığı bence çok manasız gelen bir Π (büyük pi harfi) şeklinde izdüşüm (projeksiyon) fonksiyonu vardır. Neyse daha ileri gidip R³, R⁴, ... şeklinde istediğim boyutta çarpım uzayları ve bu uzaylar üzerinde topolojiler tanımlayabilirim. Burada son bir ayrıntı daha var bu da sonsuz boyutlu topolojik uzayların özellikleri hakkında. Aslında bu topoloji ile değil daha çok kümeler teorisi hakkında o da şöyle ki sonsuz boyutu tanımlamak için sonsuz bir kartezyen çarpımın tanımlanıp tanımlanamayacağı konusu. Bu konuda bir matematikçi bu kartezyen çarpımın var olabileceğini kabul ederek, tümevarım yoluyla bu çarpımı oluşturan herhangi bir kümenin boş küme olması durumunda çarpımın sonucunun da boş küme olacağı aksi halde bildiğimiz alışıldık şekilde kümenin tanımlanabileceğini söylüyor. Burada bir ispat yerine sadece bir kabul söz konusu, en azından benim bildiğim elle tutulur bir ispat yok sadece kümelerin sonsuz kartezyen çarpımlarının da var olabileceği kabul edilmiş. Buraya kadar anlatılanlar topolojinin teorik matematikle ilgili kısımları, ilginç gelebilir ama topolojinin dolaylı yoldan geometriler üzerinde uygulamaları var. Dolayısıyla ucundan uygulamalı matematik de topolojiye bulaşmış durumda. Bu uygulamalardan en bilindik örneklerden birisi düğüm kuramı. Düğüm kuramı kapalı bir ipte (iki ucu birleştirilmiş, paket lastiği gibi) hangi türden düğümlerin açılabileceği ya da açılamayacağını inceliyor. Mantıksal açıdan zaten düğümsüz ve kapalı bir ilmeğe (lastiğe) yapılacak her dönüşümle elde edilecek düğüm (aslında düğümden burada kastedilen iplerin üzerine binmesi sonucu oluşan karmaşık yapılar) görünüş olarak ne kadar karmaşık olursa olsun çözülebilirdir. Ancak ben lastiği kesip bildiğimiz bir düğüm attıktan sonra yeniden birleştirebilirim ve bu lastik kapalıyken açılamayacak bir düğüm olur. Çok ayrıntılı bilmemekle birlikte yanlış hatırlamıyorsam eğer ilmek üzerinde ipin birbirinin üzerinden geçerek kestiği noktalara bakarız, eğer bu noktalarda aynı tel iki noktada birden üstten geçiyorsa o zaman bu düğüm çözülebilirdir, daha doğrusu topolojik anlamda hiç düğüm atılmamış ilmeğe eşdeğerdir. Örneğin bu tür bir yapıya 1 adını verelim. Daha sonra düğüm karmaşıklaştırılabilir, örneğin bildiğimiz basit düğümde her tel bir alttan bir de üstten geçer ve iki komşu ilmekte hiçbir ip aynı anda üstten geçmemektedir. Bu oluşturulabilecek en basit düğümdür ve bu yapıya da 2 adını verelim. Düğümler karmaşıklaştıkça numaralandırmaya devam edebiliriz. Şimdi elimizde bize nasıl yapıldığını bilmediğimiz bir düğüm verildiğinde bunun çözülebilir olup olmadığını (bundan sonra çözülebilirlik yerine 1 numaralı yapıya denk olup olmadığını araştıracağız) ya da en sadeleştirilmiş şekliyle hangi yapıya denk olduğunu araştırabiliriz. Bundan başka cebirsel geometri ile topolojinin de ucundan bulaştığı graf teori adı verilen bir matematik disiplini daha vardır, bu da çoğumuzun bildiği oklidyen iki boyutlu düzlemde verilmiş bir haritanın en az 4 renk kullanılarak boyanabileceği probleminin ait olduğu matematik konusudur.

Hazır matematikten konu açılmışken belki bir ara Cantor ve Russell paradokslarına da değinip matematiğin acaba gerçekten de yeterince sağlam olup olmadığını tartışabilirim bir ara vakit olursa... Erik/Resident