Sayfa 4

Vektörlerin nokta çarpımı

İki vektörün nokta çarpımı şöyle tanımlanmıştır:

P(x1,y1) . Q(x2,y2) = (x1*x2) + (y1*y2)

Yani x koordinatları birbiri ile çarpılır. Aynı şekilde y koordinatları birbiri ile çarpılır. Bu iki çarpım toplanır. Yani nokta çarpımın sonucu bir skalerdir.

Bazı trigonometrik çıkarımlardan sonra bu işlemin aslında aşağıdaki gibi de ifade edilebildiğini görürüz.

P(x1,y1) . Q(x2,y2) = [P][Q]cos(a)

Burada a açısı P ve Q vektörlerinin arasındaki açıdır. [P] P'nin uzunluğudur (boyudur). Bu işlem geometrik olarak şöyle yorumlanabilir. [P]cos(a) aslında P vektörünün Q üzerine olan izdüşümünün boyudur. Bu boy ile Q'nun boyunun çarpımı, nokta çarpımını verir.

Örnek: (2,5) . (1,-2) = (2*1) + (5*(-2)) = 2 + (-10) = -8

Nokta çarpımın 3D efektlerdeki en önemli faydalarından biri iki vektör arasındaki açıyı bulmaya yaramasıdır. Bu açı da ışıklandırma efektlerinde işe yarar.

(x1*x2) + (y1*y2) = [P][Q]cos(a)

cos(a) = ( (x1*x2) + (y1*y2) ) / ( [P][Q] )

cos(a)'yı bildiğimiz için a'yı da bulabiliriz. Ama çoğu zaman zaten bize lazım olan a'nın kendisi değil kosinüsüdür. Bunu ileride göreceksiniz.

Son olarak ufak bir gözlem yapmanızı isteyeceğim. İki vektörün aralarındaki açı 90 derece ise nokta çarpımları ne olur? cos(90)'ın değeri 0'dır. Yani vektörlerin boyları ne olursa olsun 0 ile çarpılacakları için aralarındaki açı dik olan iki vektörün nokta çarpımı her zaman 0 olacaktır.