Sayfa 33

3. 2x2, 3x3, 4x4 gibi kare matrisler bilgisayar grafik aleminde en çok kullanılan matrislerdir.

4. n boyutlu bir vektör de genelde n x 1 tipinde bir matris olarak yazılabilir.

5. Matris çarpımında “değişme özelliği” yoktur. Yani AxB ile BxA eşit değildir. Hatta ikisinden biri tanımlı bile olmayabilir.

6. Matris çarpımında “birleşme özelliği” vardır. Yani Ax (BxC)

Vektörel

dönüşümlerin matris olarak gösterilmesi

Şimdi matrisleri bir takım sayı öbekleri olmaktan çıkarıp bize faydalı hale getirme zamanı geldi. Matrisler hakkında bu kadar konuşmamızın nedeni bir önceki bölümde bahsettiğimiz vektör dönüşümlerini (yer değiştirme, dönme, ölçekleme gibi) matrisler haline getirebilmemiz. Nasıl mı? Mesela “dönme” dönüşümünü hatırlayalım.

Elimizde P(x1, y1) noktası var. Biz bu noktayı origin etrafında a açısı kadar döndürüp O(x2, y2) noktasına ulaşmak istiyoruz. Formülümüzü şöyle hesaplamıştık:

x2 = (x1)cos(a) - (y1)sin(a) y2 = (x1)sin(a) + (y1)cos(a)

Bu formülü matrisler cinsinden de yazabiliriz. Hatırlarsanız vektörlerin matris olarak yazılabileceğini söylemiştik. Dolayısıyla O ve P vektörlerini matris olarak yazarsak.

Şimdi formüle bir daha bakın. Formüldeki iki satırda yapılan işlemleri tek bir matris işlemi ile ifade etmek mümkün mü? Özellikle dikkatimizi çeken noktalar:

1. Eşitliklerin solunda x2 ve y2 birlikte O vektörünü temsil eden matris olarak yazılabilir.

2. Sağ tarafta da bir takım değerler x1 ve y1 ile çarpılıp sonuç toplanıyor (ya da çıkarılıyor ama o eksi işareti kolayca artıya çevrilebilir).

Öyleyse biz bu formülü aşağıdaki gibi yazabiliriz.

O Dönmela) xP

İşte burada dönme dönüşümünü bir matris halinde yazmış olduk. Matrisleri en çok bu amaçla kullanacağız. Yani dönüşümleri ifade etmek için.

Burada şunu sorabilirsiniz. Bir dönüşümü ha matrisle ifade etmişiz, ha önceki formüldeki satırları ayrı ayrı hesaplamışız ne fark eder? Bu çok mantıklı bir soru. Şu an için bir fark görmediniz; farkı açıklayabilmek için birazdan bileşik dönüşümlerden bahsedeceğiz.

Şimdi bir de “yer değiştirme” dönüşümünü hatırlayalım.

Elimizde P(x1, y1) noktası var ve biz bu noktanın D(dx, dy) vektörü kadar yer değiştirmesini istiyoruz. Böylece O(x2, y2) noktasına ulaşacağız.

X2 5x1 y2-yi*dy peki bunu nasıl matris olarak yazabiliriz? Tabi bunu AsP*D

Diye yazabiliriz elbette. Ancak bir önceki örnekte gördük ki dönme dönüşümünü bir noktaya uygularken dönüşüm matrisi ile noktayı temsil eden matrisi “çarptık”. Burada da istediğimiz yer değiştirme formülünü bir çarpım cinsinden ifade etmek.

Maalesef bunu mevcut 2 boyutlu vektörler ile yapamıyoruz. Matematikçiler bu sorunu basit bir şekilde çözmüşler. Bakın ne yapmışlar.

Aslen iki boyutlu olan P ve O vektörlerinin boyutunu bir artırıp oraya etkisiz eleman olan 1'i yerleştiriyoruz. Böylece 3x1'lik matrislerle artık 2 boyutlu vektörlerimizi temsil ediyoruz. O zaman dönüşümü temsil eden matrisimiz de deminki dönme dönüşümü örneğindeki gibi 2x2 olmak yerine 3x3 oluyor. Dikkat ederseniz dönüşüm matrisinin 11, 12, 21 ve 22 indexli elemanları birim matris gibiler ve sonuç vektöründeki toplama işlemlerine x1 ve y1 elemanlarının ulaşmasını sağlıyorlar. Matristeki dx ve dy elemanları ise çarpım esnasında P vektörünün 3. elemanı olan 1 ile çarpılarak sonuç toplamalarındaki yerlerini alıyorlar.