BİLGİSAYAR MATEMATİĞİ

Bilgisayarınızın hesaplayabileceği en büyük değer, alışılmadık bir sayı olan 1.70141183E+38'dir. 0'a yakın en küçük sayı ise 2.03873588E-39'dur. Acaba bilgisayarları dizayn edenler bu tuhaf değerleri nereden buldular?.. Tamsayıların bilgisayarlarda ikilik sistemde saklandığını pek çok kimse biliyor, ancak acaba bilgisayar, ondalık kesirleri ve bilimsel notasyonla yazılan sayıları nasıl düşünüyor? Neden bilgisayar sonuç olarak ekranda “6” değerini göstermesine rağmen 36'nın karekökünün 6'ya eşit olmadığını söylüyor. Bu soruları ve diğer pek çoğunu yanıtlamak için floating-point sayıların karmaşık ve şaşırtıcı dünyasında bir araştırma yapacağız. Araştırmanın sonunda BASIC dilinin en önemli ve karışık bölümlerinden birinin iyi bir değerlendirmesini yapabileceksiniz. Bilgisayarın bize sonuç olarak verdiği sayılarda göründüğünden daha başka şeyler olduğunu daha iyi anlamak için direk moddan şu satırı girin:

A-6:B- SOR(36): PRINT A,B:
IF A< >B THEN PRİNT
“A VE B EŞİT DEĞİL”

Bilgisayar A ve B değeri olarak “6” sayısını verecektir, fakat bu arada A ve B'nin eşit olmadıkları sonucuna varacaktır. Eğer A ve B'nin bellekte saklanış şekline bakacak olursak aşağıdakini görürüz:

A: 13164000 B: 13164001

Belli ki A ve B, bilgisayarın içinde farklı sayılar. Ancak bu, “6” gibi basit bir sayının “131 64 0 0 0” olarak beş bayt halinde saklandığı tuhaf düzeni nasıl açıklarız?

TUHAF DÜZEN

BASIC'te nümerik değişkenlere verilen bütün sayı değerleri “ikisi en önemli bit'i tamamlayan ve biri 128 fazlası üssü temsil eden 4 bayt'lık normalize mantis (bir logaritmanın ondalık kısmı)” olarak tanımlanabilen bir floating-point düzeninde saklanırlar. Bu karmaşık terminoloji topluluğu sizi ürküttüyse floating-point sayıların saklanış şeklinin basitleştirilmiş bir örneği kaygılanacak bir şey olmadığını gösterecektir. Standart bilimsel notasyonda yazılmış bir sayıyla başlayalım: 4 x 10^3

Bu nicelik BASIC'te 4E3, 0.4E4, 40E2 veya hepsi 4000 sayısına eşit başka değişik şekillerde ifade edilebilir. Burada “E” harfi “on sayısının kuvvetlerinin sayısı” anlamında kullanılmaktadır. “E”'yi açıklamanın bir yolu da ondalık noktanın, basamaklara göre kaydığını düşünmektir. Örneğin 0.4E4'ün değerini bulmak için 0.4'ü 0.40000 şeklinde yazın (istediğiniz kadar 0 koyabilirsiniz), sonra da ondalık noktayı dört basamak sağa kaydırarak 4000.0'i bulun. “E”nin arkasına gelen sayıya “üs”, önüne gelen sayıya ise “mantis” denir. Burada 10, esas alınan başlama sayısıdır ve “taban” olarak adlandırılır. Bütün gerçek sayılar üslü bir tabanın, mantis katı şeklinde ifade edilebilirler. Bir mantis'i 0.1'den büyük veya eşit ve 1.0'dan küçük bir ondalık kesire çevirerek veya “normalize ederek” onu daha kullanışlı bir duruma getirebilirsiniz. Bundan sonra üs ile denklik sağlanabilir. Örneğin, 4000'in normalize şekli 0.4E4'tür, çünkü mantis 0.1 ile 1 arasındadır. 40E2, 400E1 ve 4000E0 gibi diğer şekillerin hepsinin değeri aynıdır, fakat normalize değildirler. Birkaç çeşitli değerler ve normalize floating-point karşılıkları:

123 — 0.123E3 54.321 — 0.54321E2 0.5 — 0.5E0 6 — 0.6E1 0.05 — 0.5E-1 0.00064 — 0.64E-3

Dikkat ettiyseniz son iki örneğin üsleri negatif sayılardan oluşuyor. Negatif bir üs ondalık noktayı üs sayısı kadar sola kaydırma olarak da açıklanabilir. Bu şekilde 0.64E-3, 0000.64E-3 (yine istediğiniz kadar 0 koyabilirsiniz) olarak yazılabilir ve E-3'e bakarak ondalık noktayı 3 basamak sola kaydırıp 0.000064 sayısını elde edersiniz. Şimdi mantis, taban, üs ve normalizasyon kavramlarının anlaşılmaz olmadıklarını görmüş olduk. Bu floating-point düzeninde yazılamayan herhangi bir sayı var mı? Eğer üs herhangi büyüklükte bir sayı olabiliyorsa, yanıt “Hayır, bütün sayılar floating-point düzeninde yazılabilirler.” olacaktır. Negatif sayılar negatif bir mantis ile yazılırlar. Negatif mantis'i (0'dan daha küçük sayı) negatif üs ile (ondalık noktayı sola kaydırma) karıştırmayın. Floating-point temsilinin en büyük yararlarından biri çok büyük sayı değerlerini sınırlı bir boşlukta saklayabilmektir. 100,000 sayısını normalize floating-point karşılığı olan 0.1E6 ile karşılaştırın. Bu sayının karesi olan 10,000,000,000 sayısı 0.1E11 olarak yazılırken bu karenin 30 sıfırlı kübünün floating-point yazılışı sadece 0.1E31'dir. 0'a çok yakın küçük sayılar için de benzer bir saklama avantajı vardır. Bazı bilgisayarların içindeki çiplerdeki devreler arasındaki uzaklık 2 mikron olabilmektedir (veya daha az). Bu metrenin 2 milyonda biri olan uzaklık, yani 0.000,002m normalize floating-point olarak 0.2E-5 olarak rahatlıkla yazılabilir. Floating-point notasyonu aynı zamanda “sabit nokta” notasyonundan daha etkilidir. Sabit nokta notasyonunda ondalık noktanın sağında sadece belli sayıda basamak bulunabilir. Örneğin bu sayı 2 ise 123.2345 sayısı 123.23 olarak saklanır. Noktadan sonra ikinci basamağın gerisi de kalan basamaklar yuvarlak hale getirilir veya atılırlar. Sabit nokta notasyonunun dezavantajı gösterilmesi mümkün en küçük pozitif sayının 0.01 (2 basamaklı sabit nokta düzeninde) olmasıdır. 0.0032 gibi daha küçük bir sayı yalnızca 0.00 olarak gösterilebilir. Floating-point notasyonu da ondalık basamakların sayısını 2'yle sınırlayabilir, ancak yine çok küçük değerleri gösterebilecektir: 0.0032'nin, 0.32E-2 olduğu gibi.

İKİLİK SAYILAR DÜNYASI

Hemen hepimiz bilgisayarların bilgilerini 0 ve 1'lerden oluşan binary (ikilik) sayılar şeklinde sakladıklarını biliyoruz. Binary kelimesi “2 tabanlı” sayı sisteminin diğer ismidir. Bu arada floating-point değerlerin daha önceki örneklerde olduğu gibi taban yerine esasen 2'li tabanda saklandıklarını tahmin edebilirsiniz. Gerçekte de bu böyledir. Sayılar, bilgisayar içinde normalize 2 tabanlı düzende saklanırlar. Okuyucuların muhtemelen çoğu ikilik tamsayılarla önceden ilgilenmişlerdir: 2'li tabanda 1101 (1101_2 şeklinde gösterilir) 10'lu tabanda 13'e eşittir. 11111111 = 255 vb. Ondalık sayı sisteminde her basamağın 10'un bir katını (basamak değeri) temsil ettiği gibi binary veya ikili sayı sisteminde her basamak 2'nin belirli bir katına eşittir. Örneğin 1504 ondalık sayısı için “1000'ler basamağında 1, 100'ler basamağında 5, 10'lar basamağında 0, 1'ler basamağında 4” bulunduğunu düşündüğümüz gibi 1101 ikilik sayısını “8'ler basamağında 1, 4'ler basamağında 1, 2'ler basamağında 0, 1'ler basamağında 1” şeklinde görebiliriz. Hesaplama (1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1) ondalık karşılık olarak 13 sayısını verecektir. Şimdiye kadar tamsayılarla uğraştık. Bir de kesirler var. 0.5 ondalık kesrini ikilik sayı olarak nasıl gösterebiliriz? Çok basit, on'lu tabanda 0.5 = iki'li tabanda 0.1'dir. Yine her şey basamak değerlerine dayanıyor. On'lu tabanda ondalık noktanın sağındaki ilk basamak 10'da birleri (1/10), ikinci basamak yüz'de birleri vb. temsil eder. İkilik sistemde, ikilik noktanın (diğer ismi radix noktası) sağındaki ilk basamak yarımları (1/2), sonraki basamak dörtte birleri, sonraki sekizde birleri, sonra da onaltıda birleri vb. temsil ediyor. Böylece 0.1101 ikilik kesri şu şekilde açıklanabilir:

0.1101— 1*(1/2) * 0*(1/8) * 1*(1/16) 0.5 4 0.25 4 0 4 0.0625 0.8125 ondalık

1*(1/4) +

İkilik bir kesrin ondalık karşılığını bulmanın başka bir yolu daha var. Örneğin 0.058 ondalık kesrini “binde 58” olarak okuduğumuz gibi 0.1101 ikilik kesrini “onaltıda 13” şeklinde okuyabiliriz, çünkü 1101 13'e eşittir ve 0.1101'in en sağındaki basamak onaltıda birler basamağıdır. Eğer 13/16'yı bölerek ondalık sayıya çevirirsek önceki sonuç olan 0.8125'i elde ederiz. Bilgisayar yalnızca ikilik yapıda değil, aynı zamanda bayt yapılıdır. Bir bayt 8 ikilik basamaktan oluşan bir gruptur. İkilik kesirler bilgisayarda en kolay biçimde bayt düzeninde saklanırlar. Örnek olarak 0.1101001 ikilik kesrini düşünelim. Yine bunu bit'lerine göre ondalığa çevirebiliriz.

— 1*(1/2) 4 1*4(1/4) * 1*(1/16) * 8*(1/32) * 0*(1/64) * 0*(1/128) 4 1*(1/256) - 0.81640625

Diğer metodu kullanacak olursak önce ondalık karşılığı 209 olan tamsayı ikilik kısmı (11010001) alıp bunu 256'ya böleriz (çünkü baştaki ikili kesrin en sağındaki bit 256'da birler basamağındadır). 209/256 işleminin sonucu yine yukarıdaki gibi

0.81640625 olacaktır.

0.11010001, — 11010001,/256 — 209/ 256-0.81640625

209 sayısı, bayt'ın en solundaki bit'in değeri 128 olduğundan 11010001'in 1*128 + 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 209 biçiminde yazılışından ileri gelmektedir. Bütün bu yolların BASIC'teki floating-point saklama şekliyle nasıl ilgili olduklarını görmeden önce başka bir örneğe daha ihtiyacımız var. Ondalık bir kesri normalize etmenin ondalık noktayı mantis'in en önemli basamağının soluna kaydırmak demek olduğunu gördük. Bu hareketi üssün değerini değiştirerek denkleştiriyorduk. İkilik kesirleri normalize etmek için de aynı mantıkla çalışan benzer bir işlem yapılıyor. 209 ondalık sayısını düşünelim. Bu sayıyı normalize ikilik floating-point değerinde şöyle ifade edebiliriz: 1) 209'u 2'nin kuvvetinin bir katı olarak yazalım: 209 = 110100012 * 2^0 (2^0 = 1 olduğundan) = 11010001.E0 (burada E, “*2^” yerinde kullanılmıştır).

2) Radix noktasını en soldaki sıfır olmayan bit'e (8 basamak sola) kaydıralım:

0.11010001

3) Bu kaydırma işlemini, üssü 8 arttırarak denkleştirelim:

0.11010001E8

İşlemin sağlamasını yapmak için 0.11010001 ikilik kesrini alarak 2^8 ile çarpalım. Daha önceden 0.11010001'in 0.81640625'e eşit olduğunu gördük ve 2^8'in 256 olduğunu biliyoruz. Öyleyse 0.81640625 * 256 = 209'dur. Alternatif olarak

0.11010001, 209/256'dır ve 209/256 * Bu yazımda da bir şey kaybetmiyoruz.

DERİNLİKLERE DOĞRU

Eğer buraya kadar olan kısmı özellikle ikilik kesirler ve normalizasyon bölümlerini iyice anladıysanız, floating-point sayıların bilgisayar içinde nasıl saklandığına yakından bakabiliriz. Burada Floating-Point Çeviricisi programından bahsedeceğiz. Bu program, herhangi bir sayının bilgisayarın içinde nasıl temsil edildiğini görebilmemiz için, floating-point değişkeninde bulunan bilgiyi ekranda göstermektedir. Program ayrıca belleğe direkt olarak data değerleri girmenize ve bilgisayarın bunları nasıl bir floating-point niceliği olarak yorumladığını görmenize olanak sağlamaktadır. Program, en başta ilk tanımlanan değişkenin saklandığı bellek adresine bakıyor. Bu bellek adresi “değişkenler pointer'ının başlangıcı” yoluyla bulunuyor. Bu pointer C-128'de 47 ve 48 adreslerinde, C64'te ise 45 ve 46 adreslerinde saklanan iki baytlık bir sayıdır (gelecek ayki C64'ün BELLEK HARİTASI yazı dizisinde bu adresler hakkında detaylı bilgi bulabilirsiniz). Satır 70, hangi bilgisayarın kullanıldığını belirtiyor. Satır 80 ise pointer'ın başlangıç adresi için uygun bir değer seçiyor. Satır 90, aşağıdaki standart formülü kullanarak 2 baytlık pointer'ı bir bellek adresine dönüştürüyor:

Adres = (pointer'ın ilk baytı) + 256 * (pointer'ın ikinci baytı)

Bu adres programın ilk değişkeninin yerleştiği yerdir. Her değişken için 7 bayt bellek ayrılır. Floating-point değişkenlerinin saklanma düzeni aşağıdaki gibidir:

Byte Kapsam Byte — Kapsam 1 İsimli 5 Mant2 2 İsim2 6 — Mant3 7 Mant4 4

Her değişkenin iki karakterden oluşan bir ismi olabilir (esasında sadece ilk iki karakter dikkate alınır). Bu karakterler İsim1 ve İsim2'de saklanırlar. Eğer değişkenin tek karakterlik bir ismi varsa bu karakter İsim1'de saklanır ve İsim2 0 değerini alır. Kalan 5 bayt üs ve değişkenin floating-point değerinin mantisidir. Her bayt 0-255 arası bir değer alabilir. Üs “128-fazlası” bir değer olarak saklanır, ki bu da basit anlamda gerçek değere 128 eklenmesi demektir. Burada gösterilebilecek en küçük üs 0 olarak saklanan -128'dir. Mümkün olan en büyük üs ise 255 olarak saklanan 127'dir. Bu üslerin aslında 2'nin kuvvetleri olduğunu hatırlayın. Normalize mantis dört baytta saklanır. Ancak burada bir karmaşık nokta daha var. Mantis önceden normalize edildiğinden (radix noktası en soldaki 0 olmayan bit'in soluna getirildiğinden) en soldaki bit'in daima 1 olduğunu gördük. İşte burada çok akıllıca bir mantık devreye giriyor. Çok dikkatli okuyun. Üssün, mantis'in en soldaki bit'i daima 1 olacak şekilde düzenlendiğini biliyoruz ve bu yüzden burada yani en soldaki bit'te 1 değerini saklamamız gerekmiyor. Esasında, bu bit mantis'in negatif mi yoksa pozitif mi olduğunu göstermek için kullanılıyor. Eğer mantis negatif ise en sol bit'te 1 saklanıyor. Eğer pozitif ise burada saklanan değer 0 oluyor. Ancak en soldaki bit'te ne saklandığına bakmaksızın bu bit'in değerinin daima 1 olduğunu biliyoruz (en azından bilgisayar biliyor). Bu bit'te ayrıca ne saklandığına bakarak mantis'in işaretini öğreniyoruz. Çok akıllıca, değil mi? Şimdi programımıza geri dönelim ve bilginin nasıl okunup gösterildiğini görelim. X0 değişkeni için üs ve 4 mantis baytı S1-S5 adreslerinde yer alıyorlar. Satır 260 bu adreslerin sakladıkları değerleri bulmak için PEEK komutunu kullanıyor. Bu 5 bayt V1-V5 değişkenlerinde saklanıyor. Satır 1010'daki rutin bu 5 baytı yazıyor ve yorumluyor. Üs, satır 1030'da “128-fazlasını” çıkartarak hesaplanıyor. Mantis ise satır 1040'ta diğer 4 bayttan bulunuyor. V2 mantis'in en soldaki baytını saklıyor. En soldaki baytının daima 1 olması gerektiğini hatırlayın. 128 OR V2 ifadesi gerçek değerine bakmaksızın bit'i 1 yapıyor. İlk mantis baytının 256'da birlerin sayısı olarak düşünülebileceğini görmüştük. İkinci mantis baytı (1/256) pozisyonundadır. Benzer şekilde üçüncü ve dördüncü mantis baytları (1/256)^2 ve (1/256)^3'ü temsil ederler. Satır 1040 mantis'in değerini hesaplamanın etkili bir örneğini göstermektedir. Çömez bayt (en sağda

ALAK EMRE KİNG 161 65 AK ORK AK ORK ÖR OK AR OK OR OK AK OR RK OR OK OK KAR AK OR KR ORK AR OR KR KK OR AK OK OR KOK O OK OK OR KOK KK olan) V5 önce 256'ya bölünür. Sonraki bayt olan V4 buna eklenir ve sayı tekrar 256'ya bölünür. Şimdi V5'i 2562'ne bölmüş olduk. Bundan sonra çıkan sayı V3 ile toplanır ve tekrar 256'ya bölünür. Son olarak düzeltilmiş en önemli mantis bayt'ına V2 eklenir ve çıkan 256'ya bölünür. Şimdi kendinizi satır 1040'taki MN değişkenin aşağıdaki değeri sakladığına inandırmanız için biraz cebir alıştırması yapmaya gerek duyabilirsiniz. V2/256 4 V3/2562 4 V4/2563 * V5/2564

Burada, her basamağı basamak değeriyle bölerek ondalığa çevirdiğimiz 0.1101 örneğine benzer bir mantık güdülmektedir.

1/2 4 1/4 4 0/8 4 1/16 — 1/2 * 1/22 4 0/23 4 1/24

Satır 1050 en önemli baytın (EBÖB) değerini kontrol ederek mantis'in işaretini (SN) belirliyor. V2'nin EÖB'si ancak eğer bit 1'e eşit olduğunda 128 veya daha büyük bir değere sahip olur. Bu yüzden bütün negatif mantisler 128'e eşit veya büyük ve bütün pozitif mantisler 128'den küçük bir

V2 değeri alırlar. Satır 1060, hesaplanan işaret, mantis ve üs ile X0 değişkeninin gerçek değerini gösterir. Program aslında gerçekten SN*MN*2^EX hesaplamasını yapmamaktadır, çünkü çarpım ve üs almayı yuvarlak hale getirirken meydana gelen hatalar sonuçların doğruluğunu kısıtlamaktadır. Eğer isterseniz bu hesabın sonucu verecek ifadeyi programa kendiniz koyabilirsiniz. Eğer program içinde X'e basarsanız program değer girme moduna girer. Bu modda X0 değişkeninde saklanacak 5 baytı kendiniz verebilirsiniz. Bu sefer satır 1010'daki aynı rutin bu değerleri üs/mantis düzenine dönüştürecektir. 5. baytı (V5) hafifçe değiştirdiğinizde X0'ın gösterilen değerinin değişmediğini göreceksiniz. Ekranda gördüğümüz sayılarda bu sık sık olmaktadır. Örneğin, 64'ün karekökünün (SQR(64)) 6'dan ne kadar farklı olduğuna bakalım. Programın 20. satırı X0'ı 36'nın karekökü olacak şekilde tanımlamaktadır. Eğer programı ilk çalıştırdığınız anda direkt RETURN tuşuna basacak olursanız, X0 değerini koruyacaktır. SQR(64) için saklanan baytlar şu şekilde gösterilir:

131, 64, 0, 0, 1 Şimdi 6 değerini girin ve bu sefer: 131, 64, 0, 0, 0 şeklinde saklandığını görün. Çömez baytın 1 sayılık farkı, ekran gösterimi açısından önemli değildir. Ancak iş 6 ile SQR(36)'yı karşılaştırmaya gelince bu fark önem kazanır. Şimdi X'e basarak mod değiştirin. 131, 64, 0, 0, 2 değerlerini girin. Bu değer ekranda 6.00000001 olarak gösterilecektir. Bu deneyi başka sayılarla yapın ve ekranda gösterilen değerin iç değerlerdeki değişmelere karşı ne kadar hassas olduğunu görün. Konuyu toparlarken bu programla tam olarak neyin gösterildiğinden emin olmanız için, SQR(36)'ya eşit olan X0'ın sonuçlarını inceleyelim. Bir kez daha SQR(36)'nın iç değerleri 131, 64, 0, 0, 1'dir. Üs 131 eksi 128, yani 3'tür. Mantis'in EÖB'si 64, yani ikili olarak 01000000'dir. Bu baytın en solundaki bitin 1 olarak düşünüldüğünü hatırlayın. Burada 0 olması onun pozitif bir mantis olduğunu göstermekte.

Bu baytın en soldaki bitini ondalık karşılığı 192 olan 11000000 olacak şekilde 1 ile değiştirin. Şimdi sağdan sola doğru gösterilen değerleri kullanarak mantis'i hesaplayalım.

mantis = (((1/256 + 0)/256 + 0)/256 + 192)/256 veya mantis = 1/256^4 + 192/256 = 1/4294967296 + 0.750 000 000 233

Sonra bu mantis'i 3. kuvvetinde olan 2 ile çarpalım.

sonuç = 0.750000000233 * 23 = 6.00000000186 = 6 (9 önemli basamağa kadar yuvarlanmış halde). Diğer sayılarla da denemeler yaparak BASIC dilinin iç matematik yapısını daha iyi ve daha etraflıca anlayacaksınız. Artık bu değerleri programda deneyerek neden 1.70141183E38'in mümkün en büyük ve 2.93873588E-39'un en küçük değer olduğunu görebilirsiniz. Bir daha sefere birisi size bilgisayarların asla hata yapmadığını söyleyecek olursa, ona ilk örneğimizi gösterin ve neden bilgisayarın 36'nın karekökünün 6'ya eşit olmadığını düşündüğünü anlatın. Eğer onların sınırlamalarını bilmez ve çalışma prensiplerini anlamazsak bilgisayarlar şüphesiz hatalı duruma düşeceklerdir.

BİR

SAYIYI BİLGİSAYAR İÇİNDE SAKLANDIĞI ŞEKLE ÇEVİRME

10.234 sayısını alalım. Bu değerin floating-point karşılığını şu şekilde hesaplayabilirsiniz: 1. Bölüm 0.1 ile 1 arasında olana kadar değeri 2'ye bölün:

10.234/2 = 5.117 5.117/2 = 2.5585 2.5585/2 = 1.27925 1.27925/2 = 0.639625

Bu, 4 bölme işlemi aldığından üs değerimiz 4 olacaktır. Üssü 128 fazlası düzenine çevirin: 4 + 128 = 132 2. Son bölümü 256 ile çarpın:

0.639625 * 256 = 163.744

Mantis'in EÖB'ı olarak bu sayının tamsayı kısmını (163) alın. Ancak 128 çıkartın (çünkü 128'den büyük ve orijinal sayımız olan 10.234 pozitif)

Mantis EÖB = 163 - 128 = 35 alın (0.744) ve 256 ile çarpın:

0.744 * 256 = 190.464

Mantis'in sonraki EÖB'ı bu sonucun tamsayı kısmıdır.

Mantis bayt 2 = 190

4. 3. adımı mantis'in son iki değerini bulmak için iki kez daha tekrar edin:

0.464 * 256 = 118.784 Mantis bayt 3 = 118 0.784 * 256 = 200.704

Bu son değeri en yakın tam sayı olan 201 ile yuvarlanmış hale getirerek Mantis'in çömez bitini elde edin.

Mantis ÇB = 201'deki gibi saklanacaktır:

132 35 190 118 201

Bu sonucun sağlamasını yazının sonundaki programla yapabilirsiniz.

PROGRAM ADI * FP CEVİRİCİ 00300 REM SAKLANAN
FLOATIİNG-POİNT'E <1863>
80010 PRİNT "<CLROFLOATİNG-POİNT CEVİRİCİ 00310 PRİNT 3PRİNT DEGİSTİRMEK İCİN
sı: <aa3> XI CİKMAK ICİN G TUSLARINA BASIN)" <a23>
00015 PRİNT — — 00320 PRİNT * SAKLANAN 5 DEĞERİ GİRİN
KO İLK DEGİSKEN OLM 255) 1 >
ALI <820> — 00330 INPUT “İLK
00030 >" <216> — 00340 IF THEN PRİNT
©0040 DEF 218 <193>
FAZI NOT <813> — 00350 IF THEN END <a1s>
00070 İF THEN <163> — 00360 INPUT “İKİNCİ VezVALCX
©0080 THEN REM DEĞİ <188>
SKEN BASLANGIC <875> — 00370 INPUT "UCUNCU
00090 DEGİSKEN BASLANGI 24) <esa>
cı <157> — 00380 INPUT "DORDUNCU
00100 <e36>
SV*E:REM KO'IN SAKLANDIĞI ALAN — 00388 INPUT "BESİNCİ
90110 IF NOT THEN BANKI caza>
REM SA ©0400 POKE Sİ,Vİ:POKE S3,V31PO
KLANAN DEĞERLERE 2: KE 84,VA:POKE S5,VS
60210 PRİNT "(MOD DEGĞİSTİRMEK İCİN XI CİK 60410 GOSUB 1616 <144>
MAK İCİN G TUSLARINA BASIN)" — 31a
PRİNT "FLOATİNG-POİNT DEGERİNİ GİRİ 01000 REM HESAPLAMA <ess>
Noam <875> 81010 PRİNT Ve; V3r Var VS <aaı>
INPUT X&TİF THEN 260 <215> REM -- US, MANTIS, İSARET - <aa7>
©0230 IF THEN END <017> 01030 <136>
©0240 IF THEN PRİNT 01048
316 OR Va)y/ase
<187) THEN SN<-1 <as3>
00260 (S2) (S3 01060 PRİNT *<RVSOFF
(S4) (S5) *<RVSOFF>
#0270 GOSUB 1018
218 <834> — g1aza RETURN <cite>